第一章 方程的导出和定解条件习题解答

1.一根长为 l 两端固定的弦,如在中点把弦线提起,使中点离开平衡位置的距离为 a,然后把弦线轻轻放下,使弦作微小横振动。试列出弦振动所满足的定解问题。
解:通常我们把初始条件和边界条件统称为定解条件。一个偏微分方程连同它相应的定解条件(初始条件和边界条件)组成一个定解问题。故可以列出如下的弦振动所满足的定解问题: $$ \begin{cases} u_{tt} - a^{2}u_{xx} = 0, \quad 0 < x < l, t>0 \\ u(0,t) = u(l,t) = 0 \\ u(x,0) = \begin{cases} \frac{2a}{l}x, & 0 \leq x \leq \frac{l}{2} \\ -\frac{2a}{l}x + 2a, & \frac{l}{2} < x \leq l \end{cases} \\ u_{t}(x,0) = 0. \end{cases} $$

2.设介质的阻力密度与速度的大小成正比,试推导在此介质中柔软轻弦的微小横振动方程。
解:设 \( f_{阻力密度} = - c u_{t} \),将书本 P4 页的推导过程中的强迫外力密度 \( f_{0} \) 改写成 \( f_{0} - cu_{t} \),可得 $$ \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} - a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = f(x,t) - \frac{cu_{t}}{\rho},\quad (0 < x < l, t >0 ), $$ 其中 \( f(x,t) = \frac{f_{0}(x,t)}{\rho} \) .

3.设长度为 l 的均匀弹性杆的线密度为 \( \rho \), 杨氏模量为 E, 试列出杆的微小纵振动方程(参看 1.1 的附注 1)。
解:取杆长方向为 \( x \) 轴, \( u(x,t) \) 表示 \( x \) 处的截面在 \( t \) 时刻沿着杆长方向的位移。考虑 \( x \) 附近的微元 \( \Delta x \),有 $$ \varepsilon = \lim_{\Delta x -> 0}\frac{x+\Delta x + u(x+\Delta x,t) - (x+u(x,t)) - \Delta x}{\Delta x} = \frac{\partial u}{\partial x}(x,t). $$ 故应力和应变的关系如下所示(注意到 E 为一个常数): $$ \frac{N(x,t)}{S} = E \varepsilon(x,t) = E \partial_{x} u (x,t). $$ 用牛顿第二定律: $$ \Delta x S \rho \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = (N+\frac{\partial N}{\partial x} \Delta x) - N, $$ 因此 $$ u_{tt} - a^{2} u_{xx} = 0,\quad a^{2} = \frac{E}{\rho}. $$

4.长度为 l 的弹性杆,上端固定、下端悬有质量为 P 的重物,列出其边界条件。
解:以上端点为 O 点,垂直向下方向为 x 轴正方向,\( u(x,t) \) 表示截面在 t 时刻沿着杆长方向的位移。 $$ \begin{cases} u(0,t) = 0 \\ E \partial_{x} u(l,t) = Pg/S. \end{cases} $$

5.试证明圆锥形杆的微小纵振动方程是 $$ \rho \left( 1 - \frac{x}{h} \right)^{2} \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = E \frac{\partial}{\partial_{x}}\left( \left( 1 - \frac{x}{h} \right) ^{2}\frac{\partial u}{\partial x} \right), $$ 其中 h 是圆锥的高, \( \rho \)、E 分别是它的密度与杨氏模量,且 \( \rho \)、E 为常数。
解:以圆锥底面圆心为 O 点,圆锥的高为 x 轴,顶点方向为正方向。则面积 S(x) 如下所示 $$ S(x) = \pi \left( R - \frac{R}{h}x \right)^{2} = \pi \left( 1 - \frac{x}{h} \right)^{2} R^{2}, $$ 其中 R 为底面半径。 由 3 中应变和应力的关系,并应用牛顿第二定律有: $$ \rho S(x) \Delta x \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = E \frac{\partial}{x}\left( S(x) \frac{\partial u}{\partial x}\right) \Delta x, $$ 即得圆锥形杆的微小纵振动方程。

6.一杯 100 ℃ 的开水放在木制的书桌上,让它自然冷却,室温为 37 ℃,试列出水的温度场 \( u(x,y,z,t) \) 所满足的定解问题。
解:绘制水杯图如下,底面记作 \( S_{1} \),侧面记作 \( S_{2} \),和空气的接触面记作 \( S_{3} \),内部空间记作 \( \Omega \) 水杯图 注意这里是木制书桌,故可以假设杯底和书桌之间没有热交换。 $$ \begin{cases} u_{t} - a^{2}u_{xx} = 0, \quad x \in \Omega, t>0 \\ u(x, 0) = 100 + 273.15,\quad x \in \Omega \\ \frac{\partial u}{\partial n} \Big|_{S_{1}} = 0 \\ (\frac{\partial u}{\partial n} + \alpha_{1}u ) \Big|_{S_{2}} = (37 + 273.15) \alpha_{1} \\ (\frac{\partial u}{\partial n} + \alpha_{2}u ) \Big|_{S_{3}} = (37 + 273.15) \alpha_{2}. \end{cases} $$

7.为了推断地球的年龄,曾有人设想以下一个模型:假设地球是由古时一团赤热的岩浆逐渐冷却而成的,岩浆温度温度为 1200 ℃,表面温度 0 ℃, \( a^{2} = \frac{k}{c\rho} = 6 \times 10^{-7} m^{2}/s \), 试列出地球冷却这个热传导过程所满足的定解问题。
解: $$ \begin{cases} u_{t}(x,t) - a^{2}\Delta u(x,t) = 0,\quad x \in 地球, \\ u|_{t=0} = 1200 + 273.15, \quad x \in 地球, \\ u(x,t) = 0 + 273.15, \quad x \in 地球表面. \end{cases} $$

8.试按本章 $ 1.2 附注 1 中的说明,列出分子在介质中的扩散所满足的偏微分方程。
解: $$ \frac{\partial u}{\partial t} - D \Delta u = 0. $$ 其中 \( D \) 称为扩散系数。

9.半无界长杆的一端保持常温 \( u_{0} \),在杆的侧面上和周围介质发生热交换。介质为常温 \( u_{1} \),杆的初始温度为 \( 0 \) ℃,求杆的温度所满足的定解问题。设杆均匀,传热系数为 \( k \),热交换系数为 \( \alpha \)。
解: $$ \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} - a^{2} \Delta u = 0,\quad t > 0, (x,y,z) \in \Omega, \\ u(x,y, 0 ,t) = u_{0}, \quad (x,y) \in \partial \Omega \cap \{ z = 0 \}, \\ u(x, y, z, 0) = 0℃,\quad (x,y,z) \in \partial \Omega, \\ k \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}} = \alpha (u_{1} - u),\quad \partial \Omega \cap \{ z > 0 \} \times (0, + \infty). \end{cases} $$

10.一条从西向东无穷延伸的传送带,运转速度为 a,开始运转时传送带上空无一物,然后在带的起点上通过一升降机源源不断地以 \( A(1 + sin wt) (kg) \) 的方式向传送带加煤,试列出在煤的传输过程中,煤的质量分布所满足的微分方程和定解条件。
解: $$

$$

第二章 波动方程习题解答

第三章 热传导方程习题解答

第四章 位势方程习题解答

第五章 二阶线性偏微分方程的分类习题解答

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